初中三角形论文写作全攻略

本文提供初中三角形论文写作的技巧指南和一篇范文，助您深入理解。
输入标题，5分钟内生成20000字论文，轻松调整篇幅和大纲，还支持参考文献上传。
方便快捷，快来试试吧！

当然你还可以翻翻写作指南自己动手写。

初中三角形论文写作指南

写一篇关于三角形的初中论文，不仅能够帮助你巩固数学知识，还能提高你的写作能力和逻辑思维能力。下面是一份详细的写作指南，希望能帮助你完成一篇出色的论文。

1. 选题与定题

首先，确定你的论文主题。关于三角形，你可以选择以下几个方向之一： 三角形的基本性质和分类 三角形面积的计算方法 三角形在现实生活中的应用 特殊三角形（如等边三角形、直角三角形）的性质分析

2. 收集信息

图书馆与网络资源：利用学校图书馆或在线资源（如教育网站、学术文章）查找有关三角形的资料。
教科书与参考书：参考数学课本，尤其是三角形章节，以及相关的参考书。
工具与软件：可以使用几何绘图软件（如GeoGebra）来辅助理解或展示三角形的某些性质。

3. 论文结构

引言：简要介绍三角形的基本概念，以及为什么选择这个主题进行研究。
主体：
定义与分类：详细描述三角形的定义，按边长或角度分类。
性质与定理：列举并解释与三角形相关的性质和定理（如勾股定理、正弦定理等）。
计算方法：介绍如何计算三角形的面积、周长等。
应用示例：提供一些三角形在日常生活或特定领域（如建筑设计、工程学）中的应用案例。
结论：总结论文的主要发现，强调三角形的重要性和多面性。

4. 写作技巧

条理清晰：按照逻辑顺序组织内容，使读者易于理解。
使用图表：适当使用图表或示意图，帮助直观展示三角形的性质。
严谨精确：对于数学概念和定理，确保使用准确的数学语言。
引用来源：如果引用了其他资料或观点，记得在文中适当标注出处。

5. 审阅与修改

完成初稿后，先自己审阅一遍，检查是否有逻辑错误或表述不清的地方。 可以请老师或同学帮忙审阅，听取他们的意见和建议。 根据反馈进行必要的修改和完善。通过上述步骤，相信你可以写出一篇既有趣又具有深度的关于三角形的初中论文。希望这份指南对你有所帮助！

当然你还可以翻翻这些精选范文，激发写作灵感，先学后超！

探究初中三角形的性质与应用

点击蓝字一键生成论文

摘要

《初中三角形的性质与应用》深入探讨了三角形这一基础几何图形在初中数学教育中的核心地位。研究伊始，论文阐述了三角形的基本概念及其在数学中的普遍应用，强调了三角形性质研究的理论与实践价值。论文接下来系统梳理了初中阶段三角形的基本性质，包括分类及其各自的特性，如内角和定理和外角定理，为后续深入研究奠定基础。论文的核心部分聚焦于初中三角形的重要定理，如勾股定理及其在解决实际问题中的运用，以及三角形中位线定理、高、中线和角平分线的几何性质。特别关注了三角形的重心、垂心和内心，这些特殊点的性质对于理解三角形结构至关重要。此外，相似三角形的定理、判定方法与性质也被详细解析，展现出三角形在证明几何问题时的广泛适用性。转向实际应用，论文示例了勾股定理和相似三角形理论在解决日常生活和工程问题中的实例，展示了数学理论与实际问题的紧密联系。这部分不仅强化了理论知识，也培养了学生将理论知识转化为解决实际问题能力的素养。论文总结了初中三角形性质与应用的研究成果，指出其在数学教育和问题解决中的重要角色，并对今后在三角形相关研究方向上可能的拓展和深化进行了展望，强调了对基本几何概念的深入理解和灵活应用在未来学习中的持续需求。通过系统的研究与实例分析，本论文旨在提升学生对三角形性质的理解，促进他们在实际问题中有效地运用这些性质，从而推动他们数学思维的发展。

关键词：初中数学；三角形性质；勾股定理；实际应用；几何证明

第一章 引言

初中阶段的几何学学习中，三角形无疑占据着核心地位，它不仅是几何图形中最基本的构造单元，也是许多复杂几何问题解决的基石。三角形的基本概念，如边、角、分类和性质，是学生入门几何学的敲门砖。引言部分旨在阐述三角形在数学中的普遍重要性，以及为什么对三角形性质的研究对于学生的数学学习有着深远的影响。

三角形这一概念最早可以追溯到古埃及时期的金字塔建造，当时的工匠们利用三角形的稳定性和边长关系来确保建筑的结构坚固。在现代数学中，三角形的性质和定理更是被广泛应用在几何证明、代数建模、物理学、工程学等领域。从勾股定理在古希腊的发现，到现代计算机图形学中的三角剖分算法，三角形的重要性始终贯穿于整个数学历史。

三角形的性质研究不仅仅局限于理论探讨，更重要的是其在实际问题中的应用。在教育领域，通过解决与三角形相关的实际问题，学生能够将抽象的数学概念转化为解决实际问题的能力，这对培养他们的逻辑思维和问题解决策略具有重要意义。例如，在物理中，通过三角形的性质可以计算力的分解和合成，而在建筑学中，三角形则用于确定结构的稳定性和尺寸。这些实际应用让学生理解数学的实用价值，从而激发他们对数学学习的兴趣。

在本论文中，我们将系统地梳理初中阶段三角形的基本概念，深入探讨其性质，特别是那些在解决问题时至关重要的定理，如勾股定理和相似三角形定理。我们还将揭示三角形的特殊点，如重心、垂心和内心，这些点的性质有助于学生深化对三角形结构的理解。此外，我们将通过实例展示这些理论在实际问题中的应用，旨在让学生在掌握理论知识的同时，提升他们将数学知识运用到现实生活中的能力。

引言部分旨在为读者概述本论文的研究主题和目的，强调三角形在初中数学教育中的核心地位。通过介绍三角形的基本概念，我们为后续章节详细研究三角形的性质和应用奠定了基础。接下来，我们将逐一揭示三角形的各个面向，从基本的内角和定理到复杂的相似三角形理论，旨在帮助学生深化对三角形的理解，提高他们在数学学习和解决实际问题中的能力。

第二章 初中三角形的基本性质

2.1 三角形的分类

三角形的分类是几何学习的基础，通过对不同类型的三角形进行分析，学生能够更好地理解它们的特性以及这些特性在解决几何问题中的应用。三角形的分类依据通常基于边长和内角的性质。

我们按照边长将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。等边三角形的三条边都相等，每个内角也都是60度，这赋予了它极高的对称性和稳定性。等腰三角形则至少有两条边相等，相应的，至少有两个内角相等。不等边三角形则是三条边都不相等，其三个内角也各不相同，这种多样性使得不等边三角形在几何问题中具有极高的通用性。

依据内角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。锐角三角形的三个内角都小于90度，整个三角形呈现出轻盈的外观。直角三角形有一个内角恰好等于90度，最著名的定理——勾股定理就与此类三角形紧密相关。钝角三角形则有一个内角大于90度，这种三角形在解决涉及角度和距离的问题时尤其有用。

这些分类不仅帮助学生理解不同三角形的几何特性，也为后续学习诸如三角函数、正弦定理和余弦定理等高级概念奠定了基础。例如，理解等腰三角形的性质有助于解决涉及等腰直角三角形的问题，而等边三角形的性质则在解决涉及对称性的问题时大有裨益。同样，直角三角形的特性，特别是勾股定理，对于解决涉及直角关系的问题至关重要，如在图形中的距离计算或在物理中的力的分解。

通过三角形的分类，学生可以系统地学习和探索不同三角形的性质，从而更好地掌握几何学的工具。在实际问题中，这些分类有助于学生识别问题中的几何模式，从而更有效地应用相关的定理和性质进行解决。例如，在测量建筑的高度时，学生可能会利用直角三角形和勾股定理；而在解决平面图形的分割问题时，等腰三角形和等边三角形的性质就派上用场。因此，熟练掌握三角形的分类及其特性，对于青少年的数学学习具有深远的影响，它们不仅是几何基础，也是解决实际问题的强大武器。

2.2 三角形的基本性质

三角形的基本性质是几何学中的基石，它们构成了理解三角形结构和行为的基础。这些性质不仅为后续的几何研究提供了理论依据，也为解决实际问题提供了有效的工具。在初中阶段，学生们首先接触的是三角形的基本性质，如内角和定理和外角定理，这些都是构建三角形理论大厦的砖石。

内角和定理是三角形性质的核心之一，它指出一个三角形的三个内角之和恒为180度。这个性质在证明几何问题时至关重要，例如，它可以用来验证给定的图形是否符合三角形的定义，或者在已知两个内角的情况下推断第三个内角的大小。这一定理的证明通常涉及分割三角形，通过平移和旋转等方法，将其转化为更简单的情况，再利用对顶角相等的性质来得出结论。

三角形的外角定理则是另一个基本性质，它表明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。这个性质在证明中特别有用，因为外角更容易测量，且外角定理允许我们利用已知的内角来推算外角，反之亦然。例如，在解决涉及多个三角形的问题时，外角定理可以用来确定角度之间的关系，从而推断出整个图形的性质。

在实际应用中，这些基本性质与几何图形的尺寸计算紧密相关。例如，在工程学中，内角和定理被用来确保结构的角度正确，以保证建筑物的稳定。外角定理则可以帮助测量复杂的角，这对于定位和定位物体至关重要，如在航海或航空导航中。

三角形的边长关系也是其基本性质的一部分，诸如“任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边”这样的不等式，是在解决涉及三角形边长的问题时的必备知识。这些不等式为验证三角形的存在性提供了准则，同时也在计算面积、周长和角度时起到关键作用。

这些基本性质的掌握，帮助学生建立起几何思维，培养观察、分析和解决问题的能力。它们不仅是后续学习如相似三角形、正弦定理和余弦定理的基石，同时也是数学在现实世界中应用的桥梁，如在建筑、设计和科学研究中。因此，深入理解并灵活运用三角形的基本性质，对于学生的数学素养和实践能力的提升具有重要意义。在接下来的章节中，我们将继续探索三角形的其他重要性质，如中位线、高线、中线、角平分线的性质，以及重心、垂心、内心等特殊点的特性，以进一步丰富学生对三角形这一基础图形的认识。

第三章 初中三角形的重要定理

3.1 勾股定理及其应用

勾股定理，这个古希腊数学家毕达哥拉斯发现的定理，是初中三角形定理中的瑰宝，对于理解直角三角形的性质和解决实际问题具有无可估量的价值。这个定理指出，在一个直角三角形中，直角两边的平方和等于斜边的平方，即\\\\(a^2 + b^2 = c^2\\\\)，其中\\\\(a\\\\)和\\\\(b\\\\)是两条直角边的长度，而\\\\(c\\\\)是斜边的长度。

勾股定理的证明方法多样，从古代的几何方法到现代的代数方法，每个证明都展示了数学的深刻和谐。其中最著名的证明是通过将直角三角形与正方形的边长相联系，利用图形的面积相等来推导出定理。这个定理的直观性和实用性使其成为教学中的重要工具，它可以帮助学生将抽象的数学概念转化为实际问题的解决方案。

勾股定理在实际生活中的应用广泛。在建筑领域，它被用于计算墙体的长度、电线杆的高度，以及确定房屋结构的稳定性。在航海和航空中，勾股定理用于计算航线的最短距离，或者在定位系统中确定两点之间的实际距离。在物理中，它用于计算力的分解，如在斜面问题中，可以利用勾股定理来找出垂直于斜面的力和沿斜面的力。此外，勾股定理也是计算机图形学中的一种常见算法，用于处理3D模型中的坐标变换。

在教学中，教师可以引入实际案例，如搭建直角三角形的模型，让学生亲自动手测量并验证勾股定理的准确性。通过这样的实践活动，学生能更深入地理解定理的内涵，并提高他们的动手能力和实际应用能力。

在解决几何证明题时，勾股定理同样大显身手。通过构造直角三角形，学生可以利用勾股定理来证明线段的等长，角的相等，或者判断三角形的类型。例如，若已知一个三角形的两条边长，可以通过勾股定理判断是否存在第三个边，从而确定该三角形是否存在。

除了直角三角形的直角边和斜边关系，勾股定理在其他数学领域也有延伸应用。例如，通过二维到三维的推广，形成了三维空间中类似的关系，即长方体对角线的长度等于其边长的平方和的平方根。此外，勾股定理的代数形式为代数方程的求解提供了重要工具，如在求解二次方程时，可以与代数方法结合，求解出几何问题的实数解。

在数学教育中，勾股定理是培养学生数学思维的重要载体。它强调了数学的严谨性和应用的广泛性，通过实际问题的解决，帮助学生建立起数学与现实世界的联系，培养他们解决问题的策略和技巧。因此，深入理解和灵活运用勾股定理，对于初中的几何学习和未来数学的深入研究具有基础性作用。

3.2 其他三角形定理

在三角形的众多性质中，除了勾股定理，还有许多其他重要定理，它们同样在几何证明和实际问题中起着关键作用。这些定理不仅丰富了学生对三角形的理解，还为解决复杂问题提供了工具。在本节中，我们将探讨一些初中阶段重要的三角形定理，包括中位线定理、高、中线和角平分线的性质，以及三角形的特殊点如重心、垂心和内心。

中位线定理是三角形中线性质的一个重要体现。它指出，连接三角形两边中点的线段（中位线）平行于第三边，并且长度等于第三边的一半。中位线定理的证明可以通过构造全等三角形来实现，这一性质在几何证明中能够简化计算，它将复杂的三角形问题转化为更简单的等腰三角形或四边形问题。在实际应用中，中位线的性质可以用来快速计算三角形的面积，或者在测量时通过中位线来估计未知边长。

三角形的高、中线和角平分线是其几何特性的重要组成部分。高线是从三角形的一个顶点垂直于对边的线段，它连接了顶点与对边的垂足，常常用来计算面积和解决涉及三角形高度的问题。中线将三角形的一边分成两等份，而角平分线将一个内角平分为两个相等的角度。这些线段的性质可以帮助确定三角形的形状，或者在解决涉及到三角形内部划分的问题时提供关键信息。

特别关注的是三角形的重心、垂心和内心。重心是三角形三条中线的交点，它将每条中线分为1:2的比例，重心到顶点的距离是顶点到对边中点距离的一半。垂心是三角形三条高线的交点，它位于三角形外，且垂足连线构成的三角形与原三角形相似。内心则是三角形三条角平分线的交点，它位于三角形内部，且内切圆半径与各边的距离相等。这些特殊点的性质对理解三角形的结构和计算边长、角度和面积有着重要作用。

相似三角形的定理是几何学中的另一颗璀璨明珠。它指出，如果两个三角形的对应角相等，那么它们就相似。相似三角形的判定方法包括两边成比例且夹角相等，或三边成比例。一旦确定了相似关系，就可以利用相似三角形的性质，如对应边长成比例，对应角相等，以及面积之比等于对应边长比的平方，来解决各种几何问题。例如，利用相似三角形可以测量难以直接量取的距离，或者解决复杂的几何构造问题。

在实际问题中，相似三角形的定理被广泛应用。例如，在建筑学中，设计师可能利用相似三角形来构建对称的建筑结构；在摄影和视觉艺术中，艺术家使用相似三角形来创造出视觉上的平衡；在物理学中，相似三角形用于解决动态系统的比例问题，如在自由落体和滑动摩擦中。

初中三角形的这些其他定理，无论是定线的性质还是特殊点的特性，以及相似三角形的理论，都是数学教育中不可或缺的组成部分。它们在几何证明、实际问题解决和后续数学学习中发挥着关键作用。通过理解和掌握这些定理，学生能够深化对三角形的理解，提高他们在解决实际问题时的技能，从而推动他们数学思维的进一步发展。在教学过程中，教师应注重引导学生通过实例和实践来体验这些定理的应用，从而更好地内化这些知识，为未来数学学习打下坚实的基础。

第四章 三角形在实际问题中的应用

4.1 实际问题中的勾股定理应用

在现实世界中，勾股定理的应用无处不在，它为解决各种实际问题提供了一种强大且直观的工具。从建造房屋到规划航海航线，从测量物体的长度到设计高效的机械结构，勾股定理都扮演着至关重要的角色。在初中数学教育中，让学生了解勾股定理的实际应用，有助于他们将数学知识与日常生活联系起来，增强对数学的兴趣和理解。

在建筑领域，勾股定理用于计算直角三角形结构的尺寸。例如，在搭建屋顶时，工匠需要确定两个斜面的长度，这就需要使用勾股定理来计算，确保屋顶的稳定性。此外，室内装修时，计算家具的摆放位置，或者在墙壁上挂画时确定最佳位置，往往也需要利用勾股定理来确保对称和平衡。

在航海和航空中，勾股定理用于计算最短航线。飞机或船只在确定航线时，通常需要在地图上画出一条直线，但这直线实际上是地球曲面上的大圆弧。然而，在航海图上，由于比例尺的限制，不可能精确地画出大圆弧，因此通常采用近似方法，即在平面图上利用勾股定理来计算一个足够准确的直线距离。这是基于地球表面两点间最短距离——大圆弧的近似，实际航海和飞行时则需要结合地球曲率进行微调。

在物理学中，勾股定理是力的分解和合成的基石。例如，考虑一个物体在斜面上受到的力，可以分解为沿斜面和平行于斜面的两个分量，通过勾股定理计算出各分力的大小，从而理解物体的运动状态。在电场或磁场中，也可以利用勾股定理来确定矢量力的大小和方向。

在体育运动中，运动员和教练员也常利用勾股定理，比如在篮球中，判断投篮的角度和力度，或者在足球中，计算传球的飞行轨迹。例如，射箭运动员需要准确计算出箭矢的飞行路径，以确保击中目标，这就涉及到勾股定理来确定箭矢的水平和垂直速度。

在计算机图形学中，勾股定理用于处理3D坐标变换，如在3D游戏中，计算游戏角色的移动轨迹或者摄像机的视角移动，都需要用到勾股定理。此外，它还被应用于图像处理和图形渲染，例如在计算像素间的距离，或者在进行缩放和平移操作时。

在教学中，教师可以设计丰富多样的实际问题，让学生亲自动手解决，以加深他们对勾股定理的理解和应用。比如，让学生利用生活中的常见物品（如纸张、绳子等）构建直角三角形，然后测量边长，验证勾股定理的准确性。这种实践活动能够让学生在实践中学习，提高他们的动手能力和实际问题解决能力。

勾股定理在初中数学教育中的实际应用例子不胜枚举，它揭示了数学与现实世界的紧密联系，培养了学生们将抽象理论应用于实际情境的能力，为他们未来的学习和生活打下了坚实的基础。通过学习和理解勾股定理，学生不仅能够深化对几何图形的理解，还能在解决实际问题时展现出创造力和批判性思维，这些都是现代教育体系所大力推崇的技能。

4.2 实际问题中的相似三角形应用

相似三角形在实际问题中的应用体现得尤为广泛，从日常生活到科学研究，它为解决各种几何和非几何问题提供了强大的理论基础。相似三角形的性质，尤其是它们的比例关系，使得它们在测量、设计、建筑和艺术等领域中充当了实用的工具。

在建筑学中，相似三角形被广泛应用于设计和结构分析。例如，建筑师在设计楼梯时，会利用相似三角形来确保楼梯的坡度合适，以保证使用者的安全和舒适。此外，在古建筑中，建筑师往往会利用相似三角形来创造出视觉上的均衡和对称，如在希腊神庙中，柱子间的比例关系往往符合黄金分割，这实际上就是借助相似三角形来实现的。

在艺术创作中，相似三角形的应用则有助于构图的和谐。例如，在绘画中，艺术家可能会使用相似三角形来确定元素的大小和位置，以创造出视觉上的平衡和对比。在摄影中，摄影师会利用相似三角形来构图，使画面更具动态和深度，营造出立体感。这种比例的应用在视觉艺术中具有深远的影响，从达芬奇的《最后的晚餐》到现代电影的镜头语言，无处不在。

在地理学和地图学中，相似三角形被用来处理比例尺和距离的计算。当需要在地图上测量实际地面上的距离时，通常可以通过相似三角形来近似计算，尽管这个近似在大规模地图上可能并不精确，但对于小范围的定位和导航来说，这个方法简单且有效。

在物理学中，相似三角形在解决与比例问题有关的问题时特别有用。例如，当考虑光的折射或反射时，光路的几何可以简化为相似三角形，从而利用它们的比例关系来计算光线的偏折角度。在电路设计中，相似三角形用于分析电阻的并联和串联，利用相似三角形的比例关系来理解电压、电流和电阻之间的关系。

在体育中，相似三角形的应用也相当普遍。例如，篮球运动员在投篮时，可以通过分析篮筐和投篮者之间的相似三角形，来调整投篮角度，以提高进球概率。在田径比赛中，跳远运动员的起跳角度和助跑速度的计算也可以借助相似三角形来优化。

在工程学中，相似三角形用于设计和分析结构的强度和稳定性。桥梁的斜拉索设计、飞机机翼的空气动力学分析以及机械装置的杠杆原理等，都可能涉及到相似三角形的比例关系。通过比较不同尺度下的相似三角形，工程师能够推断出结构在不同尺度下的性能。

在教育中，教师会设计实际问题，让学生应用相似三角形的知识来解决问题。例如，通过测量旗杆的影子和它与旗杆的距离，利用相似三角形可估算旗杆的实际高度，这样的实践活动既锻炼了学生的实际测量能力，也加深了他们对相似三角形理论的理解。

相似三角形的应用展示了数学理论与实际生活的紧密联系，它在解决实际问题中的应用，不仅增强了学生对数学的兴趣，也培养了他们的创新思维和问题解决能力。通过实例和实践，学生能够更好地将相似三角形的理论知识转化为解决实际问题的技能，这不仅有助于他们的数学学习，也对他们的未来生活和职业发展产生了积极影响。因此，在数学教育中，强调相似三角形的理论与实际应用，是提升学生数学素养和跨学科学习能力的重要途径。

第五章 结论

初中阶段的数学学习中，三角形的性质与应用是核心内容，因为它们不仅是几何学的基础，还广泛应用于各个科学领域。通过系统研究三角形的基本概念，如分类、内角和外角定理，我们帮助学生建立了扎实的几何基础。进一步深入，引出了勾股定理，这一基石定理不仅在直角三角形中揭示了边长的决定性关系，而且在实际生活中，如建筑、航海、物理和计算机图形学中，扮演着解决实际问题的重要角色。勾股定理的证明方法和应用实例展示了数学的严谨性和实用性。

我们还探讨了三角形的中位线定理、高、中线和角平分线的性质，以及重心、垂心和内心等特殊点的几何特性。这些性质不仅加深了学生对三角形结构的理解，还为解决复杂几何问题提供了强大工具。相似三角形的定理和判定方法则展示了三角形在证明问题和比例关系中的通用性，其在实际问题，如测量、艺术设计和物理学中的应用，进一步展示了数学理论与现实世界的紧密联系。

在实际问题的解决部分，我们展示了如何将勾股定理和相似三角形的理论应用于日常生活中的种种情境，如建筑、导航、物理、体育和艺术创作。这些实例不仅让学生看到数学的实际应用，也激发了他们将抽象概念转化为具体解决方案的技能。通过实践活动，学生们更直观地理解了定理的内涵，提高了他们的动手能力和问题解决策略。

结论部分总结了初中三角形研究的丰富成果，强调了它们在数学教育和实际问题解决中的重要性。我们指出，深入理解和灵活应用这些性质是学生数学思维发展的关键，有助于他们在后续学习中更好地理解抽象概念，解决复杂问题。此外，我们还展望了未来的研究方向，提出对基本几何概念的深入理解和创新应用在不断变化的教育环境中将始终是学生学习的必要条件。

通过本论文的系统研究，我们旨在提升学生对三角形性质的理解，培养他们在实际问题中有效运用这些性质的能力，从而促进他们数学思维的全面发展。这不仅有助于他们在数学课堂上的表现，也为其未来学习更高级的数学概念，如三角函数、正弦定理和余弦定理，奠定了坚实的基础。在教育实践中，教师应注重创造丰富的实际问题情境，鼓励学生运用所学知识解决实际问题，以此来进一步强化他们的理论知识，并提高运用数学解决现实生活问题的素养。

参考文献

[1] 谷周波.探究性学习在初中数学教学中的应用研究——以“三角形的中位线”教学为例[J].《数学教学通讯》,2024年第5期42-44,共3页

[2] 朱丰澄.阿基米德三角形的性质再探及其应用[J].《中学数学研究（华南师范大学）（上半月）》,2024年第7期25-28,共4页

[3] 涂道新.阿波罗尼斯圆的性质及其在解三角形中的应用[J].《高中数理化》,2024年第9期38-40,共3页

[4] 廖清州.问题导学法在初中数学“全等三角形”教学中的应用策略[J].《数学学习与研究》,2024年第10期74-76,共3页

[5] 陈俞怡.几何性质解析,定理应用探寻——以直角三角形斜边中线性质定理为例[J].《数理天地（初中版）》,2024年第1期6-7,共2页